บทที่ 5

บทที่5

การคูณเศษส่วนของพหุนาม

การคูณเศษส่วนของพหุนามการเหมือนกับการคูณจำนวนจริงทั่วๆไป คือเอาเศษคูณเศษเอาส่วนคูณส่วน แต่ใน ม.3 นี้จะพิเศษนิดหนึ่งคือ มีเรื่องของการแยกตัวประกอบของพหุนามมาเกี่ยวข้องด้วย ซึ่งการแยกตัวประกอบนั้นก็มีได้หลายวิธี ดังนั้นผู้เรียนควรมีความเชี่ยวชำนาญในการแยกตัวประกอบด้วย เช่น

• การดึงตัวร่วม
• แยกเป็นสองวงแล็บ
• ใช้เทคนิคทำเป็นผลต่างกำลังสอง
• ใช้เทคนิคทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ....เมื่อแยกตัวประกอบเสร็จแล้วถ้าตัดทอนกันได้ก็ตัดทอนกัน  แล้วค่อยคูณกันอีกที

เดี๋ยวเรามาดูตัวอย่างกันเลยดีกว่าครับ

ตัวอย่าง  จงหาผลคูณของเศษส่วนพหุนามต่อไปนี้

1) 4xx+2×3x+66$\frac{4x}{x+2}\times \frac{3x+6}{6}$

วิธีทำ จะเห็นว่าข้อนี้เราสามารถดึงตัวร่วม 3x+6  ได้ จัดการดึงตัวร่วมก่อน

4xx+2×3x+66$\frac{4x}{x+2}\times \frac{3x+6}{6}$

=4x(x+2)×3(x+2)6$=\frac{4x}{(x+2)}\times \frac{3(x+2)}{6}$   จะเห็นว่า x+2 ตัดทอนกันได้

=4x×36$=4x\times \frac{3}{6}$   จะเห็นว่า  4 กับ 6 ใช้สูตรคูณแม่สองตัดได้

=2x×33$=2x\times \frac{3}{3}$

=2x$=2x$

---

2)   2x2−4xx+3×xx−2$\frac{2x^2-4x}{x+3}\times \frac{x}{x-2}$

วิธีทำ จะเห็นว่า  2x2−4x$2x^2-4x$   สามารถดึงตัวร่วมได้ ตัวร่วมก็คือ 2x

2x2−4xx+3×xx−2$\frac{2x^2-4x}{x+3}\times \frac{x}{x-2}$

=2x(x−2)x+3×xx−2$=\frac{2x(x-2)}{x+3}\times \frac{x}{x-2}$   เห็นไหม x-2 ตัดทอนกันได้=

2xx+3×x$=\frac{2x}{x+3}\times x$   ไม่มีตัวตัดทอนอีกแล้วก็จับกันคูณธรรมดา

=2x2x+3$=\frac{2x^2}{x+3}$

---

3)  2x2−6x3x−6×6x−124x3−12x2$\frac{2x^2-6x}{3x-6}\times \frac{6x-12}{4x^3-12x^2}$

วิธีทำ  จะเห็นว่ามีหลายพจน์ที่ดึงตัวร่วมได้  มองให้รู้นะว่าพจน์ไหนและ ตัวอะไรคือตัวร่วม

ยกตัวอย่างเช่น  4x2−8x=4xx˙−2(4x)$4x^2-8x=4x\dot{x}-2(4x)$   เห็นไหมตัวร่วมคือ 4x

2x2−6x3x−6×6x−124x3−12x2$\frac{2x^2-6x}{3x-6}\times \frac{6x-12}{4x^3-12x^2}$

=2x(x−3)3(x−2)×6(x−2)4x2(x−3)$=\frac{2x(x-3)}{3(x-2)}\times \frac{6(x-2)}{4x^2(x-3)}$   เห็นตัวที่สามารถตัดทอนกันได้ชัดเจนเลย

=2x3×64x2$=\frac{2x}{3}\times \frac{6}{4x^2}$       ตัดทอนกันต่อเลยนะ 

=1x$=\frac{1}{x}$ 

---

4) x2+3x+2x2−4×x2−3x+22x2+x−1$\frac{x^2+3x+2}{x^2-4}\times \frac{x^2-3x+2}{2x^2+x-1}$

วิธีทำ  ข้อนี้จะเห็นว่าต้องแยกตัวประกอบเป็นสองวงเล็บ  และ x2−4$x^2-4$ ต้องทำเป็นผลต่างกำลังสอง

จำผลต่างกำลังสองได้ไหมเอ่ย x2−4=x2−22=(x−2)(x+2)$x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2)$ จำไม่ได้ค้นหาเองในเวบนี้แหละ

ทำต่อเลยนะ

x2+3x+2x2−4×x2−3x+22x2+x−1$\frac{x^2+3x+2}{x^2-4}\times \frac{x^2-3x+2}{2x^2+x-1}$

=(x+1)(x+2)(x−2)(x+2)×(x−1)(x−2)(2x−1)(x+1)$=\frac{(x+1)(x+2)}{(x-2)(x+2)}\times \frac{(x-1)(x-2)}{(2x-1)(x+1)}$    มีตัวตัดทอนกันได้เยอะเลย

=(x−1)(2x−1)$=\frac{(x-1)}{(2x-1)}$

---

5)   6x(x+3)×4x+122$\frac{6x}{(x+3)}\times \frac{4x+12}{2}$

วิธีทำ ง่ายๆข้อนี้ ดึงตัวร่วมแล้วตัดทอนกันเลย

6x(x+3)×4x+122$\frac{6x}{(x+3)}\times \frac{4x+12}{2}$

=6xx+3×4x+122$=\frac{6x}{x+3}\times \frac{4x+12}{2}$

=6x×2$=6x\times 2$

=12x$=12x$

---

6)  27xx+5×6x+3018$\frac{27x}{x+5}\times \frac{6x+30}{18}$

วิธีทำ  เหมือนเดิมดังตัวร่วม แล้วตัดทอน ใครดึงตัวร่วมไม่เป็นค้นหาวิธีการเองในเวบนี้แหละ

27xx+5×6x+3018$\frac{27x}{x+5}\times \frac{6x+30}{18}$

=27x(x+5)×6(x+5)18$=\frac{27x}{(x+5)}\times \frac{6(x+5)}{18}$

=27x×13$=27x\times \frac{1}{3}$   ตัดทอนครับ 3  กับ 27 ตัวทอนได้

=9x$=9x$

---

7) 3x34×8x2−48xx2−6x$\frac{3x^3}{4}\times \frac{8x^2-48x}{x^2-6x}$

วิธีทำ ลองทำเองก่อนโดยไม่ดูเฉลยนะ ไม่ยากหรอก

3x34×8x2−48xx2−6x$\frac{3x^3}{4}\times \frac{8x^2-48x}{x^2-6x}$

=3x34×8x(x−6)x(x−6)$=\frac{3x^3}{4}\times \frac{8x(x-6)}{x(x-6)}$

=3x24×8$=\frac{3x^2}{4}\times 8$       4  ตัดทอนกับ 8 ได้ นะ

ข้อสอบ

1.     พีระมิดทรงฐานรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 8 เซนติเมตร ยาว 12 เซนติเมตร สั้นยาว 12 เซนติเมตร จะมีส่วนสูง

        ตรงกับข้อใด

        1)   7 เซนติเมตร

        2)   8 เซนติเมตร

        3)   2  เซนติเมตร

        4)   3  เซนติเมตร

2.     จากข้อ 1 จะมีพื้นที่ผิวตรงกับข้อใด

        1)   176 + 48 ตารางเซนติเมตร

        2)   176 + 48 ตารางเซนติเมตร

        3)   176 + 48 ตารางเซนติเมตร

        4)   176 + 48 ตารางเซนติเมตร

3.     จากข้อ 1 จะมีปริมาตรตรงกับข้อใด

        1)   282 ลูกบาศก์เซนติเมตร

        2)   278ลูกบาศก์เซนติเมตร

        3)   264 ลูกบาศก์เซนติเมตร

        4)   256 ลูกบาศก์เซนติเมตร

4.     แก้วทรงกระบอกวัดเพิ่มเติมเส้นผ่านศูนย์กลางภายในได้ 6เซนติเมตร ลึก 7 เซนติเมตร จะจุน้ำได้ตรงกับข้อใด

        1)   186 ลูกบาศก์เซนติเมตร

        2)   198ลูกบาศก์เซนติเมตร

        3)   204 ลูกบาศก์เซนติเมตร

        4)   212 ลูกบาศก์เซนติเมตร

5.     ถังน้ำทรงกระบอกรัศมี 0.5 เมตร สูง 2.1 เมตร มีน้ำอยู่ในถัง  ของถัง คิดปริมาตรน้ำประมาณเท่าไร

        1)   0.09 ลูกบาศก์เซนติเมตร

        2)   0.12ลูกบาศก์เซนติเมตร

        3)   0.23 ลูกบาศก์เซนติเมตร

        4)   0.36 ลูกบาศก์เซนติเมตร

6.     ลูกบอลสีมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 3.2 เซนติเมตร มีแถบสีต่าง ๆ 5 สี แต่ละแถบสีเท่าๆ กัน แต่ละแถบสีมีพื้นที่ตรง กับข้อใด

        1)   7.7 ตารางเซนติเมตร

        2)   7.9ตารางเซนติเมตร

        3)   8.2 ตารางเซนติเมตร

        4)   8.6 ตารางเซนติเมตร

7.     จากข้อ 6 ลูกบอลสีนี้จุอากาศได้ตรงกับข้อใด

        1)   22.46 ลูกบาศก์เซนติเมตร

        2)   24.62ลูกบาศก์เซนติเมตร

        3)   25.94 ลูกบาศก์เซนติเมตร

        4)   26.68 ลูกบาศก์เซนติเมตร

8.     แก้วทรงกระบอกเส้นผ่านศูนย์กลางภายในของก้นแก้วยาว 2.8 เซนติเมตร ลึก 3 เซนติเมตรบรรจุน้ำเต็มแก้ว เมื่อนำลูกทรงกลม เส้นผ่านศูนย์กลาง 2.8 เซนติเมตรใส่ลงไป จะทำให้น้ำล้นออกตรงกับข้อใด

        1)   6.72 ลูกบาศก์เซนติเมตร

        2)   6.98 ลูกบาศก์เซนติเมตร

        3)   7.24 ลูกบาศก์เซนติเมตร

        4)   7.36 ลูกบาศก์เซนติเมตร

9.     ปลากระป๋องชนิดเดียวกันบรรจุกระป๋องทรงกระบอกสองขนาด โดยขนาดแรกสูงเป็นสองเท่าของขนาดที่สอง

        แต่มีเส้นผ่านศูนย์กลางยาวเพียงครึ่งหนึ่ง ถ้าราคาขายเท่ากัน ข้อใดถูกต้อง

        1)   บรรจุขนาดแรกได้กำไรมากกว่า

        2)   บรรจุขนาดที่สองขายได้กำไรมากกว่า

        3)   บรรจุทั้งสองขนาดได้กำไรเท่ากัน

        4)   บรรจุทั้งสองขนาดขายดีเท่ากัน

10.   พีระมิดทรงฐานรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวด้านละ 10 เซนติเมตร 12 เซนติเมตร ถ้าต้องการทาสีโดยรอบทั้งหมด โดยสี 5 ลูกบาศก์เซนติเมตรจะทาสีได้ 25 ตารางเซนติเมตร จะต้องใช้สีทั้งหมดเท่าไร

        1)   20 ลูกบาศก์เซนติเมตร

        2)   52ลูกบาศก์เซนติเมตร

        3)   72 ลูกบาศก์เซนติเมตร

        4)   75 ลูกบาศก์เซนติเมตร

11.   พีระมิดข้อใดไม่ถูกต้อง

        1)   ฐานของพีระมิดบางรูปเป็นทรงเรขาคณิต

        2)   สันของพีระมิดทุกรูปยาวเท่ากันเสมอ

        3)   สูง เอียง ของพีระมิดทุกรูปยาวเท่ากัน

        4)   ผิวของทรงพีระมิดบางรูปเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

12.   รางน้ำฝนเป็นรูปทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 7เซนติเมตร ยาว 14 เซนติเมตร ถ้าความยาวงของรางเป็ฯ 2 เมตร จะ           มีน้ำเต็มรางเท่าไร

        1)   195 ลูกบาศก์เมตร

        2)   196 ลูกบาศก์เมตร

        3)   195.50 ลูกบาศก์เซนติเมตร

        4)   196.00 ลูกบาศก์เซนติเมตร

13    ลูกเหล็กทรงกลมมีรัศมียาว 3 เซนติเมตร นำมาหลอมรวมกับทรงกระบอกตันซึ่งมีรัศมี 2 เซนติเมตร สูง

        5 เซนติเมตร เป็นทรงกลมใหม่มีรัศมีประมาณกี่เซนติเมตร เมื่อ

        1)    

        2)    

        3)    

        4)  

14.   กรวยอันหนึ่งมีปริมาตร 100 ลูกบาศก์เซนติเมตร มีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 10 เซนติเมตร จะได้สูงเอียงของ  กรวยเท่าไร

        1)   12 เซนติเมตร

        2)   13 เซนติเมตร

        3)   14 เซนติเมตร

        4)   15 เซนติเมตร

15.   แก้วน้ำรูปทรงกระบอกมีรัศมี 5 เซนติเมตร ใส่น้ำสูง 4 เซนติเมตร นำลูกเหล็กทรงกลม   1เซนติเมตร จำนวน                 60 ลูก ใส่ลงไป น้ำจะสูงขึ้นกี่เซนติเมตร

        1)   0.04 เซนติเมตร

        2)   0.08 เซนติเมตร

        3)   0.4 เซนติเมตร

        4)   0.8 เซนติเมตร

16.   ข้อใดไม่ถูกต้อง

        1)   พีระมิดควรจะมีสูงเอียงยาวเท่ากัน

        2)   พีระมิดตรงมีพื้นที่ผิวข้างแต่ละด้านเท่ากัน

        3)   พีระมิดที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะมีมุมเอียงยาวเท่ากัน

        4)   การหาปริมาตรของพีระมิดและกรวยกลมจะมีวิธีคิดการหาเหมือนกัน

17.   ทรงกระบอกตันแท่งหนึ่ง เส้นผ่านศูนย์กลาง 36 เซนติเมตร สูง 20 เซนติเมตร นำมาหลอมเป็นทรงกลมตันที่มี             รัศมี 3 เซนติเมตรได้กี่ลูก

        1)   100 ลูก

        2)   120 ลูก

        3)   060 ลูก

        4)   180 ลูก

18.  เจดีย์ฐานวงกลมมีรัศมีฐานยาว 3.5 เมตร สูง 4 เมตร ต้องการทาสีโดยรอบ ถ้าเสียค่าทาสี ตารางเมตรละ     

180 บาท จะต้องจ่ายเงินเท่าไร เมื่อ  p =

        1)   3,850 บาท

        2)   5,800 บาท

        3)   7,825 บาท

        4)   11,500 บาท

19.   ทรงลูกบาศก์โลหะยาวด้านละ 44 เซนติเมตร นำมาหลอมเป็นลูกทรงกลมรัศมี 2 เซนติเมตร ได้กี่ลูกเมื่อ

        1)   1,541 ลูก

        2)   1,780 ลูก

        3)   2,450 ลูก

20.   นำทรงกลมกลางรัศมีภายใน 3 เซนติเมตร และรัศมีภายนอก 6 เซนติเมตร มาหลอมเป็นรูปทรงกระบอก สูง 7                เซนติเมตร เส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกระบอกเท่าไร

        1)   9.53 เซนติเมตร

        2)   10.25 เซนติเมตร

        3)   11.12 เซนติเมตร

        4)   12.00 เซนติเมตร

=3x2×