บทที่ 3

บทที่3

การแก้สมการเศษส่วนพหุนาม

การแก้สมการนี้ถือเป็นเรื่องยอดฮิตเลยสำหรับการเรียนคณิตศาสตร์หัวทุกหัวข้อที่เรียนล้วนแล้วต้องแก้

สมการ ส่วนใหญ่ก็จะจบลงด้วยการแก้สมการ หรือมีการแก้สมการมีเกี่ยวข้อง ฉนั้นพวกเราผู้ซึ้งเป็นนักเรียนต้องฝึกการแก้สมการให้เป็น ส่วนเรื่องที่จะกล่าวต่อไปนี้เป็นเรื่องของการแก้สมการเศษส่วนพหุนาม ไม่ยากหลักกการก็เหมือนกับการแก้สมการทั่วๆไปแต่เป็นเศษส่วนก็เท่านั้นเอง มาดูก็ทำเลยครับ

จงแก้สมการในแต่ละข้อต่อไปนี้

1. 9x2−3x5=13$\frac{9x}{2}-\frac{3x}{5}=13$

ข้อนี้ ไม่ยากถ้าลองวิเคราะห์ดูจะเห็นเศษส่วนพหุนามข้อนี้ยังลบกันไม่ได้เพราะตัวส่วนไม่เท่ากัน ต้องทำส่วนให้เท่ากันก่อน ค.ร.น.ของ 2 กับ 5 คือ 10 นั่นคือต้องทำส่วนให้เป็น 10 นั่้นเองเริ่มเลย

9x×52×5−3x×25×2=13$\frac{9x\times 5}{2\times 5}-\frac{3x\times 2}{5\times 2}=13$

45x−6x10=13$\frac{45x-6x}{10}=13$ 

39x=13×10$39x=13\times 10$

x=13039$x=\frac{130}{39}$

x=103$x=\frac{10}{3}$

ต้องตรวจคำตอบด้วยนะครับ แต่ให้เราลองตรวจตำตอบเองนะครับ

---

2. 33n2+52n=32n$\frac{3}{3n^2}+\frac{5}{2n}=\frac{3}{2n}$

การทำข้อนี้ เราจะทำเหมือนข้อ 1 ที่ผ่านมาก็ได้คือทำส่วนให้เท่ากันหรือจะใช้วิธีการคูณไขว้ก็ได้น่ะ

จะลองทำแบบคูณไขว้ให้ดูครับ เพราะบางทีคูณไขว้จะเร็วกว่าการหา ค.ร.น  แต่ก่อนที่จะคูณไขว้จะเห็นว่ามีบางตัวตัดทอนกันได้ก็ตัดทอนก่อนครับ

1n2+52n=32n$\frac{1}{n^2}+\frac{5}{2n}=\frac{3}{2n}$

(1×2n)+(5×n2)n2×2n=32n$\frac{(1\times 2n)+(5\times n^2)}{n^2\times 2n}=\frac{3}{2n}$

2n+5n22n3=32n$\frac{2n+5n^2}{2n^3}=\frac{3}{2n}$

2n+5n2=32n×2n3$2n+5n^2=\frac{3}{2n}\times 2n^3$

2n+5n2=3n2$2n+5n^2=3n^2$

5n2−3n2+2n=0$5n^2-3n^2+2n=0$

2n2+2n=0$2n^2+2n=0$

2n(n+1)=0$2n(n+1)=0$

จะได้

2n=0$2n=0$  หรือ n+1=0$n+1=0$

n=0$n=0$  หรือ  n=−1$n=-1$

จะเห็นว่า n=0 ไม่ได้เพราะจะทำให้ตัวส่วนเป็น 0 ดังนั้น n=-1  

---

3. x5=5x$\frac{x}{5}=\frac{5}{x}$

ข้อนี้ย้ายข้างไปคูณเลยครับ ก็จะได้

x×x=5×5$x\times x=5\times 5$

x2=25$x^2=25$

x=±5$x=\pm 5$

---

4.  x−4x+1=−23$\frac{x-4}{x+1}=-\frac{2}{3}$

ย้ายข้างไปคูณเลยครับ

3(x−4)=−2(x+1)$3(x-4)=-2(x+1)$

3x−12=−2x−2$3x-12=-2x-2$

3x+2x=−2+12$3x+2x=-2+12$

5x=10$5x=10$

x=105$x=\frac{10}{5}$

x=2$x=2$

---

5.  10x+4−1x=1$\frac{10}{x+4}-\frac{1}{x}=1$

10x+4=1+1x$\frac{10}{x+4}=1+\frac{1}{x}$

10x+4=x+1x$\frac{10}{x+4}=\frac{x+1}{x}$

10x=(x+1)(x+4)$10x=(x+1)(x+4)$

10x=x2+5x+4$10x=x^2+5x+4$

x2+5x+4−10x=0$x^2+5x+4-10x=0$

x2−5x+4=0$x^2-5x+4=0$

(x−4)(x−1)=0$(x-4)(x-1)=0$

x=4,x=1$x=4,x=1$

---

6.  2a−32a−3=a−12a+3$\frac{2a-3}{2a-3}=\frac{a-1}{2a+3}$

1=a−12a+3$1=\frac{a-1}{2a+3}$

2a+3=a−1$2a+3=a-1$

2a−a=−4$2a-a=-4$

a=−4$a=-4$

---

7. 4n−5=45−n$\frac{4}{n-5}=\frac{4}{5-n}$

ย้ายข้างเลยครับ

5−nn−5=44$\frac{5-n}{n-5}=\frac{4}{4}$

−(n−5)(n−5)=1$\frac{-(n-5)}{(n-5)}=1$      $$   ***note 5−n=−(n−5)$5-n=-(n-5)$

−1=1$-1=1$  สมการนี้ไม่จริง ดังนั้นข้อนี้ไม่มีคำตอบ

---

8.  4x−3x−4−2x3=2x+5x−4$\frac{4x-3}{x-4}-\frac{2x}{3}=\frac{2x+5}{x-4}$

จะเห็นว่ามีพจน์ที่มีส่วนเท่ากันดังนั้นย้าย พจน์ที่มีส่วนเท่ากันมาหากันเลยครับ

4x−3x−4−(2x+5)x−4=2x3$\frac{4x-3}{x-4}-\frac{(2x+5)}{x-4}=\frac{2x}{3}$

4x−3−2x−5x−4=2x3$\frac{4x-3-2x-5}{x-4}=\frac{2x}{3}$

2x−8x−4=2x3$\frac{2x-8}{x-4}=\frac{2x}{3}$

3(2x−8)=(2x)(x−4)$3(2x-8)=(2x)(x-4)$

6x−24=2x2−8x$6x-24=2x^2-8x$

0=2x2−8x−6x+24$0=2x^2-8x-6x+24$

2x2−14x+24=0$2x^2-14x+24=0$ $$  เอาสองหารทั้งสองข้างของสมการ

x2−7x+12=0$x^2-7x+12=0$  

(x−3)(x−4)=0$(x-3)(x-4)=0$

x=3,x=4$x=3,x=4$

---

9.  1+12y+1=12y$1+\frac{12}{y+1}=\frac{12}{y}$

1×(y+1)y+1+12y+1=12y$\frac{1\times (y+1)}{y+1}+\frac{12}{y+1}=\frac{12}{y}$

y+1+12y+1=12y$\frac{y+1+12}{y+1}=\frac{12}{y}$

y+13y+1=12y$\frac{y+13}{y+1}=\frac{12}{y}$

(y+13)y=12(y+1)$(y+13)y=12(y+1)$

y2+13y=12y+12$y^2+13y=12y+12$

y2+13y−12y−12=0$y^2+13y-12y-12=0$

y2+y−12=0$y^2+y-12=0$

(y+4)(y−3)=0$(y+4)(y-3)=0$

y=−4,y=3$y=-4,y=3$

---

10.  4r−4+2rr2−16=1r+4$\frac{4}{r-4}+\frac{2r}{r^2-16}=\frac{1}{r+4}$

ข้อนี้ตรงไหนแยกตัวประกอบได้ก็แยกก่อนครับ

4r−4+2r(r−4)(r+4)=1r+4$\frac{4}{r-4}+\frac{2r}{(r-4)(r+4)}=\frac{1}{r+4}$

4(r+4)(r−4)(r+4)+2r(r−4)(r+4)=1r+4$\frac{4(r+4)}{(r-4)(r+4)}+\frac{2r}{(r-4)(r+4)}=\frac{1}{r+4}$

4r+16(r−4)(r+4)+2r(r−4)(r+4)=1r+4$\frac{4r+16}{(r-4)(r+4)}+\frac{2r}{(r-4)(r+4)}=\frac{1}{r+4}$

4r+16+2r(r−4)(r+4)=1r+4$\frac{4r+16+2r}{(r-4)(r+4)}=\frac{1}{r+4}$

6r+16(r−4)(r+4)=1r+4$\frac{6r+16}{(r-4)(r+4)}=\frac{1}{r+4}$

6r+16(r−4)(r+4)−1r+4=0$\frac{6r+16}{(r-4)(r+4)}-\frac{1}{r+4}=0$

ทำส่วนให้เท่ากันครับ

6r+16(r−4)(r+4)−1(r−4)(r+4)(r−4)=0$\frac{6r+16}{(r-4)(r+4)}-\frac{1(r-4)}{(r+4)(r-4)}=0$

6r+16−(r−4)(r−4)(r+4)=0$\frac{6r+16-(r-4)}{(r-4)(r+4)}=0$

6r+16−r+4(r−4)(r+4)=0$\frac{6r+16-r+4}{(r-4)(r+4)}=0$

5r+20(r−4)(r+4)=0$\frac{5r+20}{(r-4)(r+4)}=0$

5(r+4)(r−4)(r+4)=0$\frac{5(r+4)}{(r-4)(r+4)}=0$

ตัดทอน

5(r+4)r−4=0$\frac{5(r+4)}{r-4}=0$

5(r+4)=0$5(r+4)=0$

r+4=0$r+4=0$

r=−4$r=-4$

แต่จะเห็นว่าถ้าเราแทน r  ด้วย -4  ในโจทย์จะเห็นว่าทำให้ส่วนเป็น 0  ดังนั้นสมการข้อนี้ไม่มีคำตอบ

ข้อสอบ

1. โลหะทรงกระบอกต้นไม้เส้นผ่านศูนย์กลาง 12 เซนติเมตร สูง 7 เซนติเมตร จะใช้กระดาษอย่างน้อยเท่าไรมาห่อ  

     ทรงกระบอกจึงจะมิด

1)            264 ตารางเซนติเมตร

2)            418 ตารางเซนติเมตร

3)            491 ตารางเซนติเมตร

4)            682  ตารางเซนติเมตร

2.    แก้วน้ำหนึ่งโหล ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวด้านละ 7 เซนติเมตร และสูง 15เซนติเมตร ถ้าเทน้ำใส่แก้วทุก                ใบจนเต็ม แก้วใบนี้จะจุน้ำอย่างน้อยเท่าไร

        1)     2,700 ลูกบาศก์เซนติเมตร

        2)     4,410 ลูกบาศก์เซนติเมตร

        3)     8,820 ลูกบาศก์เซนติเมตร

        4)     8,923 ลูกบาศก์เซนติเมตร

3.    ถ้าขี้ผึ้ง 1 ลูกบาศก์เซนติเมตรหนัก 100 กรัม จะต้องใช้ขี้ผึ้งหนักเท่าไร ที่นำมาหล่อเป็นพีระมิดด้านฐานกว้าง 4              เซนติเมตร ยาว 5 เซนติเมตร และสูง 9 เซนติเมตร จำนวน 4 อัน

        1)     4 กิโลกรัม

        2)     6 กิโลกรัม

        3)     12 กิโลกรัม

        4)     24 กิโลกรัม

4.    ทรงกระบอกรูปหนึ่งมีเส้นรอบฐานยาว 10เซนติเมตร สูง 6 เซนติเมตร จะมีพื้นที่ด้านข้างเท่าไร

        1)     35 ตารางเซนติเมตร

        2)     40 ตารางเซนติเมตร

        3)     55 ตารางเซนติเมตร

        4)     60 ตารางเซนติเมตร

5.    ไม้ท่อนหนึ่งเป็นรูปทรงกระบอกมีรัศมี 3 เซนติเมตร ยาว 10 เซนติเมตร นำมาทำเป็นทรงกรวยที่มีรัศมีและ     ความสูงเท่ากับท่อนได้เดิม ไม้ที่ตัดออกมีปริมาตรเท่าใด

        1)     30p ลูกบาศก์เมตร

        2)     40p ลูกบาศก์เมตร

        3)     50p ลูกบาศก์เมตร

        4)     60p ลูกบาศก์เมตร

6.    10 ลิตรเท่ากับกี่ลูกบาศก์เซนติเมตร

        1)     100 ลูกบาศก์เซนติเมตร

        2)     1,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร

        3)     10,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร

        4)     100,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร

7.    ข้าว 23 ถังมีกี่ลิตร

        1)     340 ลิตร

        2)     690 ลิตร

        3)     460 ลิตร

        4)     920 ลิตร

8.    ข้อใดเลือกใช้หน่วยการวัดปริมาตรได้ถูกต้อง

        1)     มาลีมีความจุ 56 กิโลกรัม

        2)     ขวดน้ำปลานี้จุได้ 100 ลูกบาศก์เซนติเมตร

        3)     ตู้ปลามีน้ำอยู่ 10,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร

        4)     ยาสีฟันหลอดนี้ 100 ลิตร

9.    สามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกันเมื่อใด

        1)     มีมุมระหว่างกันสามมุม มุมต่อมุม

        2)     มีด้านเท่ากันสามด้าน ด้านต่อด้าน

        3)     มีด้านเท่ากันสองด้าน ด้านต่อด้าน และมีมุมร่วมด้านทั้งสองเท่ากัน

        4)     มีมุมเท่ากันสองมุม มุมต่อมุม และมีด้านที่เป็นตัวร่วมของมุมทั้งสองยาวเท่ากัน

10.  กำหนด Dกขค ~ Dงจฉ ข้อใดกล่าวถึงต้อง

        1)     =, =, และ =

        2)     =, =, และ =

        3)    

        4)     ข้อ 1 และ ข้อ 3 ถูกต้อง

11.  DMNO ~DMOP ถ้า MN = 5    MO = 8 และMP = 15    MQ ยาวเท่าไร

        1)     9.38

        2)     8.24

        3)     7.66

        4)     6.25

12.  ถ้า DRST ~ DDEF และ S = 42ํ , P = (8x + 6) และ D = 44 ํ จะได้ x ตรงกับข้อใด

        1)     9

        2)     11

        3)     13

        4)     15

13.  รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีความยาวด้านเป็น 3.4 และ 5 เซนติเมตร ถ้าสามเหลี่ยมรูปที่สองมีความยาวด้านเป็น

        6.8 และ 10 เซนติเมตร จะทำให้ข้อใดถูกต้อง

        1)     สามเหลี่ยมทั้งสองรูปเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

        2)     สามเหลี่ยมทั้งสองรูปเป็นสามเหลี่ยมคล้ายกัน

        3)     สามเหลี่ยมทั้งสองรูปมีขนาดความยาวด้าน 1 ต่อ 2

        4)     ถูกทั้ง 3 ข้อ

14.  ก้อนหินอยู่ห่างจากโคนเสา 30 เมตร ถ้านำไม้ยาวมาปักในแนวเส้นตรงระหว่างก้อนหินกับเสา ให้ห่างจากก้อน หิน 5 เมตร จะได้เสาสูงเท่าไร

        1)     8 เมตร

        2)     16 เมตร

        3)     18 เมตร

        4)     20 เมตร

15.  ข้อใดไม่ถูกต้อง

        1)     รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 2 รูป มีมุมยอดเท่ากันจะเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

        2)     รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าทุกรูปเป็นสามเหลี่ยมคล้ายกัน

        3)     รูปสามเหลี่ยมไม่เท่ากันทุกประการเป็นสามเหลี่ยมคล้ายกัน

        4)     รูปสามเหลี่ยมคล้ายกัน จะเป็นสามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการ

16.  ข้อใดไม่ใช้กราฟเส้นตรง

        1)     2x – 5 = 4y

        2)     2x + 3 y = 1

        3)     y (2x + 1) = 6

        4)     2x = 3y

17.  ข้อใดเป็นความสัมพันธ์ของกราฟเส้นตรง

        1)     (1, 0) , (-1, -2), (0, -1)

        2)     (2, -1) , (3, 0), (4, 1)

        3)     (-5, 3) , (-6, 4), (-7, 2)

        4)     (-2, 1) , (-1, 0), (0, -1)

18.  กราฟข้อใดขนานกับแกน x

        1)     5x = 1

        2)     2y = 3

        3)     xy = 7

        4)     3y = 2x

19.  ข้อใดเป็นจุดบนเส้นตรง 2x – 3y = 1

        1)     (1, -3)

        2)     (-1, -5)

        3)     (2, 1)

        4)     (-2, 5) 

20.  (– 8, 6) อยู่บนเส้นตรงข้อใด

        1)     2x + y – 6 = 0

        2)     x+ y + 14 = 0

        3)     2x + y – 1 = 0

        4)     x – y –  6 = 0