บทที่ 1

บทที่1

โจทย์สมการกำลังสอง

หลักและวิธีการทำโจทย์ปัญหาสมการกำลังสอง นั้น มีหลักง่ายๆคับ คือ

1. ตัองกำหนดตัวแปรคับ วิธีการกำหนดตัวแปรก็ไม่ยากคับ โจทย์ถามหาอะไรก็ให้ตัวนั้นเป็นตัวแปรเลยอย่างเช่น

โจทย์ถามหาความกว้างของห้อง เราก็กำหนดให้ห้องนี้ยาว x  หน่วย พอกำหนดตัวแปรแลัวต่อไปคือ

2. สร้างสมการขึ้นมาจากเงื่อนไขที่โจทย์กำหนดมาให้ อันนี้ต้องวิเคราะห์กันหน่อยว่าโจทย์ให้เงื่อนไขอะไรเรามาบ้าง

3. แก้สมการจากข้อที่ 2 ที่เราสร้างขึ้นมา

4.หลังจากแก้สมการเสร็จแล้วก็ทำการตรวจสอบคำตอบก่อนแล้วค่อยตอบคับ ส่วนในบทความนี้ผมจะไม่ทำ

ขั้นตอนที่ 4 น่ะ ที่ไม่ทำก็เพราะว่า ตามตรงเลยน่ะ ไม่อ้อมค้อม คือขี้เกียจคับ ไม่พวกเราลองตรวจสอบเองแล้วกันไม่ยากคับ เริ่มต้นที่ข้อแรกเลยแล้วกันค่อยๆอ่านโจทย์น่ะ

ทำแบบฝึกหัดกันเลยน่ะคับ ไม่ยากน่ะพยายาม

1.พื้นห้องเรียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่ 180 ตารางเมตร ด้านยาวยาวกว่าด้านกว้าง 3 เมตร ห้องนี้กว้างและยาวกี่เมตร

วิธีการทำ ขั้นตอนแรกเราต้องกำหนดตัวแปรก่อนคับ  วิธีการกำหนดตัวแปรคือโจทย์ถามหาอะไรเราก็ให้ตัวนั้นแหล่ะเป็นตัวแปร อย่างเช่นข้อนี้โจทย์ถามหาความกว้างและยาว เราก็กำหนดตัวแปรดังนี้คือ

ให้ห้องนี้กว้าง  x  เมตร

และโจทย์บอกว่าด้านยาวยาวกว่าด้านกว้าง 3 เมตร ดังนั้นห้องเรียนนี้ยาว x+3 เมตรตรงนี้เข้าใจไหมเอ่ย

โจทย์บอกเราอีกว่าห้องเรียนนี้มีพื้นที่ 180 ตารางเมตร ซึ่งพื้นที่หาได้จากเอาความกว้างคูณกับความยาว นั่นก็คือ

กว้าง ×$\times$ ยาว เท่ากับ 180  จึงได้ว่า

x×(x+3)=180$x\times (x+3)=180$  แก้สมการนี้เลยคับเพื่อหาค่า x ซึ่งวิธีการแก้ก็ไม่ยากคับเอา x คูณเข้าไปในวงเล็บก็จะได้

x2+3x=180$x^2+3x=180$

x2+3x−180=0$x^2+3x-180=0$  แยกตัวประกอบต่อน่ะก็จะได้

(x−9)(x+12)=0$(x-9)(x+12)=0$  จะได้

(x−9)=0 หรือ (x+12)=0$(x-9)=0หรือ(x+12)=0$ จะได้

x=9 หรือ x=−12$x=9หรือx=-12$ ซึ่งเราให้ x เป็นความกว้างของห้อง ความกว้างมีค่าเป็นบวกเสมอดังนั้นห้องนี้กว้าง 9 เมตร และห้องนี้มีความยาวยาวกว้างด้านกว้าง 3 เมตร ดังนั้นห้องนี้ยาว 9+3=12 เมตร วิธีการทำก็ประมาณนี้คับไม่ยาก จริงๆแล้วคิดในใจก็ได้ข้อนี้ อย่างไรก็อ่านให้เข้าใจเพื่อนำไปประยุกต์ใช้กับข้ออื่นอีกทีหนึ่ง

---

2.กำหนดสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมี B เป็นมุมฉาก ด้าน AB ยาวกว่าด้าน BC  7 เซนติเมตร และ ด้าน AC ยาวกว่า ด้าน AB   1  เซนติเมตร จงหาความยาวของด้าน AB,BC และ AC ตามลำดับ

วิธีทำ

ข้อนี้ก็ไม่ยากคับกำหนดตัวแปรก่อนคับ ให้ x เป็นความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมนี้แล้วจะเป็นด้านไหนดีล่ะ ก็ต้องดูดีๆน่ะคับในที่นี้ผมให้

ให้ x คือความยาวของด้าน BC ซึ่งก็คือผมให้ BC ยาว x เซนติเมตรนั่นเอง ต่อไปอ่านโจทย์ว่าโจทย์บอกเงื่อนไขอะไรมาอีกบ้าง

โจทย์บอกว่า : ด้าน AB ยาวกว่าด้าน BC    7 เซนติเมตร       ดังนั้น AB ยาว x+7 เซนติเมตรใช่ไหมคับดูดีๆวิเคราะห์ช้าๆ

นอกจากนั้นโจทย์ยังบอกอีกว่า: ด้าน AC ยาวกว่า ด้าน AB   1  เซนติเมตร

จาก  AB ยาว x+7 เซนติเมต   AC ยาวกว่า AB อยู่ 1 เซนติเมตร ดังนั้น  AC ยาว x+7+1=x+8 เซนติเมตร ถูกต้องไหมคับอ่านโจทย์ดีๆน่ะ

สรุปคือ

BC ยาว x ซม.

AB ยาว x+7 ซม.

AC ยาว x+8 ซม.

ดังรูปนี้ครับ

โจทย์ให้หาความยาวของด้านทั้งสามด้านแสดงว่าเราต้องหา x ให้ได้คับ คำถามคือหา x ยังไง

ดูที่โจทย์น่ะคับว่าสามเหลี่ยมนี้เป็นสามเหลี่ยมอะไร เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากดังนั้นเราสามารถนำทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาช่วยในการหาค่า x ได้ คับ  เริ่มหากันเลยเราจะได้

(x+8)2x2+16x+64x2−2x−15(x−5)(x+3)====(x+7)2+x2x2+14x+49+x200$$\begin{array}{lcl}(x+8{)}^2& =& (x+7{)}^2+x^2\\ x^2+16x+64& =& x^2+14x+49+x^2\\ x^2-2x-15& =& 0\\ (x-5)(x+3)& =& 0\end{array}$$

ดังนั้น ได้ค่า

x=5$x=5$  หรือ  x=−3$x=-3$

แต่เราไม่เอา x=−3$x=-3$  เพราะความยาวจะไม่ติดลบครับดังนั้นx=5$x=5$

สรุปคำตอบคือ

BCยาว5ซม.$BCยาว5ซม.$

ABยาวx+7=5+7=12ซม.$ABยาวx+7=5+7=12ซม.$

ACยาวx+8=5+8=13ซม.

ข้อสอบ

1.       ถ้า  1– x  < x – 1 จะได้ข้อใดถูกต้อง

          1     x   > 

          2     x   > 

          3     x   < 

          4     x   < 

2.       ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง

          1     ถ้า a < b แล้ว a + c < b + c

          2     ถ้า a d b แล้ว a – c d  b – c

          3     ถ้า a > b แล้ว a – c < b  – c

          4     ถ้า a c b แล้ว a + c c b + c

3.       ถ้า a > b และ b > c แล้วข้อใดถูกต้อง

          1     ab > bc

          2     a – b < c

          3     abc > 0

          4     a > c

4.       ถ้า c > 0แล้วข้อใดถูกต้อง

          1     –6c > 0

          2     2c < –c

          3     5c > 3c

          4     –c <  –2c

5.       คำตอบของ 2 – x <  2x – 1 มีค่าตรงกับคำตอบของอสมการใด

          1     2x – 4  > 3x – 4

          2     5x  < 4x – 1

          3     –x –1 <  0

          4     x + 9  <  2x + 8

6.       –¹  จะได้ x ตรงกับข้อใด

          1     x ¹  –

          2     x ¹

          3     ทุกค่ายกเว้น , –1

          4     ทุกค่ายกเว้น –, 0 ,–1

7.       ถ้า – 4 < 0  และ ตรงกับข้อใด

          1     << 3

          2     – 2 <<  –

          3     << –

          4     << 2

8.       ถ้า x + 2  d  1+x  จะได้ข้อใดถูกต้อง

          1     x c –6

          2     x c  6

          3     x d   6

          4     x d  –6

9.       ถ้า 2x – 3 < 3 – x < x + 2   จะได้ x ตรงกับข้อใด

          1     < x < 2

          2     –< x < 2

          3     x <  และ x < 2

          4     x > และ x > 2

10.    ถ้า 2x + 3 d 5x +1  < 2x + 13   จะได้ x ตรงกับข้อใด

          1     d x  < 2

          2     d x  < 4

          3     d x  < 3

          4     d x  < 5

11.    ถ้าx– 10  d  3x – 6  < x – 2  จะได้ x ตรงกับข้อใด

          1     – 1  d  x   < 4

          2     – 1  d  x  < 2

          3     – 2  d  x  < 3

          4     – 2  d  x  < 2

12.    ถ้า4x –c +  จะได้ x ตรงกับข้อใด

          1     x c

          2     x c

          3     x c–

          4     x c–

13.    ถ้า x  ¹  1 จะได้ข้อใดถูกต้อง

          1     x + 2  ¹   1

          2     x + 2 > 1

          3     x + 2 > 1– x

          4     x – 2  ¹  –1

14.    ถ้าx c –1จะได้ข้อใดถูกต้อง

          1     x + 1  c 0

          2     x + 1 d  0

          3     x – 1 d  0

          4     x – 1 c 0           

15.    ข้อใดถูกต้อง

          1     <เมื่อ x < 0

          2  –> –เมื่อ x > 0

          3     x  > yจะได้ ax > ay

          4     ถ้า x² > 0จะได้ x ¹ 0

16.    ถ้า 2x –1 > x + 12จะได้ xตรงกับข้อใด

          1     3x – 2 > x + 5

          2     2x + 1 > x + 5

          3     4x – 7 > 23 – 6x

          4     7x – 5 > 5x + 3

17.    ถ้า (9x – 2) – (x + 4 ) ¹  จะได้ xข้อใดถูกต้อง

          1     x = 3

          2     x ¹  3

          3     x = 4

          4     x ¹ 4

18.    ถ้า x และ y เป็นจำนวนเต็มซึ่ง x <  10 และ y  < 6 แล้วจะได้ข้อใดถูกต้อง

          1     x + y d 14

          2     x - y  < 10

          3     x + y  > 10

          4     6  d  x - y  <  10

19.    ถ้า2x – 3  > 4 (x + 1) - 3 จะได้ x ตรงกับข้อใด

          1     x  > 2

          2     x  < 2

          3     x  > -2

          4     x  < -2

20.    ถ้า  0.2 (x – 1) + 0.5 (x – 9) ¹  3จะได้ x ตรงกับข้อใด

          1     x – 1 ¹ 4.5

          2     x + 1 ¹ 5.5

          3     x – 2 ¹ 8

          4     x + 2 ¹ 10